sinx 的 n 次方也就是 sinⁿx 的不定积分，核心就是华里士递推公式，也叫降幂递推公式，这个公式属于高等数学积分里面非常经典的分部积分推导出来的归纳递推式，记 Iₙ 等于 ∫ sinⁿx dx，n 是正整数，通过分部积分可以得到 Iₙ 的递推关系，这个递推式最大的用处就是，不管 n 是奇数还是偶数，都可以一步步把高次幂降到一次或者零次，最后算出积分结果，不需要每次都重新拆分三角恒等式，很多同学学这个知识点的时候，只会背递推式子，不知道推导来源，遇到 n 是奇数偶数的区别就容易出错，奇数次幂可以拆出一个 sinx 凑微分，偶数次幂必须依靠降幂公式反复递推，同时还要记住最后结果一定要加上积分常数 C，这个是不定积分和定积分最大的区别。

递推归纳公式

设 Iₙ = ∫ sinⁿx dx

递推公式

Iₙ = 负 (sin^(n-1) x cosx)/n + (n-1)/n × I_(n-2)

这个就是 sinx 的 n 次方不定积分最核心的归纳递推公式

推导思路就是把 sinⁿx 拆成 sin^(n-1) x 乘以 sinx，然后分部积分，u 等于 sin^(n-1) x，dv 等于 sinx dx，分部积分之后整理化简，就得到这个递推式，每次递推幂次下降 2，也就是 n 变成 n 减 2，一直降到 n 等于 0 或者 n 等于 1 为止

终止基准项

当递推下降到最低两项，也就是基准积分

I₀ = ∫ sin⁰x dx = ∫1 dx = x + C

I₁ = ∫ sinx dx = 负 cosx + C

只要算出这两个基础结果，所有 n 大于等于 2 的 Iₙ，都可以反复套用递推公式计算出来

奇数幂与偶数幂计算特点

举例子演示

例子 n=3 也就是 ∫sin³x dx

用递推 I₃ = 负 (sin²x cosx)/3 + 2/3 × I₁

代入 I₁等于负 cosx 加 C

I₃ = 负 (sin²x cosx)/3 减 2cosx/3 + C

也可以用凑微分法验证，结果是等价的

例子 n=4 也就是 ∫sin⁴x dx

I₄ = 负 (sin³x cosx)/4 + 3/4 × I₂

继续对 I₂再套递推 I₂ = 负 (sinx cosx)/2 + 1/2 × I₀

I₀等于 x 加 C，全部回代，就能得到四次方完整积分结果

拓展补充

这个递推公式和 cosⁿx 的递推公式结构很像，但是符号有差别，不要把 sinⁿx 和 cosⁿx 递推式混淆

如果是定积分区间 0 到 π/2，这个递推就变成华里士公式，也就是 Wallis 公式，定积分版本不需要保留积分常数 C，很多同学会把不定积分递推和定积分华里士公式混在一起，做题一定要分清是不定积分还是定积分

易错点提醒

1 递推公式前面有负号，很多同学抄写的时候漏掉负号，后面全部计算出错

2 不定积分最终结果必须加积分常数 C，递推过程每一步不要忘记 C

3 递推是每次减 2，不是减 1，n 变成 n-2，不要写成 n 减 1

4 n 是正整数，n=0 和 n=1 是终止项，不要再继续递推

5 不要把 sinⁿx 理解成 sin (nx)，这两个完全不一样，sin (nx) 是正弦里面角度为 nx，和 sinx 的 n 次幂是两种积分题目

总结

sinx 的 n 次方不定积分归纳公式就是递推式 Iₙ = 负 (sin^(n-1) x cosx)/n + (n-1)/n I_(n-2)，依靠分部积分推导，每次幂次下降 2，终止基准是 I₀和 I₁，奇数幂也可以选择凑微分，偶数幂适合反复递推，注意区分不定积分和 0 到 π/2 的定积分华里士公式。

【常见问题】

问题 1 sinxn 次方的不定积分归纳公式 这个递推公式是怎么推导出来的

回答 1 sinxn 次方的不定积分归纳公式 是利用分部积分法，拆分 sinⁿx，设 u 等于 sin^(n-1) x dv 等于 sinx dx，分部积分整理之后得到 sinxn 次方的不定积分归纳公式。

问题 2 sinxn 次方的不定积分归纳公式 递推之后降到哪一项停止

回答 2 sinxn 次方的不定积分归纳公式 每次幂次下降 2，一直降到 I₀等于 x 加 C，I₁等于负 cosx 加 C，这就是 sinxn 次方的不定积分归纳公式的终止基准项。

问题 3 sinxn 次方的不定积分归纳公式 n 是奇数的时候一定要用递推吗

回答 3 sinxn 次方的不定积分归纳公式 不一定，奇数幂可以拆出 sinx 凑微分换元，但是同样可以使用 sinxn 次方的不定积分归纳公式，两种方法结果一致。

问题 4 sinxn 次方的不定积分归纳公式 它和华里士定积分公式是同一个吗

回答 4 sinxn 次方的不定积分归纳公式 不是同一个，sinxn 次方的不定积分归纳公式带积分常数 C，华里士公式是 0 到 π/2 定积分版本，没有积分常数 C。

【免责申明】

本文为高等数学积分知识点教学总结，公式按照标准分部积分推导整理，若教材排版记号存在细微差别请以正式高数教材为准，本文不替代课堂教学。