【燕尾定理公式】在几何学中，燕尾定理是一个用于解决三角形内线段比例问题的重要工具，尤其在初中和高中数学中应用广泛。该定理因图形形状类似“燕尾”而得名，常用于分析三角形中与中线、角平分线或高相关的线段比例关系。
一、燕尾定理的基本内容
燕尾定理主要描述的是：在一个三角形中，若一条直线从一个顶点出发，并与对边相交于一点，那么这条直线将三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的面积之比等于它们所对应的底边长度之比。
更具体地说：
> 如果在△ABC中，D是BC边上的任意一点，连接AD，则有：
>
> $$
> \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{BD}{DC}
> $$
这个比例关系就是燕尾定理的核心公式。
二、燕尾定理的应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 三角形面积计算 | 通过已知底边比例求面积比 |
| 线段比例分析 | 利用面积比反推线段比 |
| 几何证明题 | 作为辅助定理使用，帮助构建逻辑链 |
| 高考/竞赛题 | 常见考点，涉及综合应用 |
三、燕尾定理的公式总结
| 公式名称 | 表达式 | 说明 |
| 燕尾定理基本公式 | $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{BD}{DC}$ | 面积比等于底边比 |
| 推广形式（多条线段） | $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{BD}{DC}, \quad \frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle ACE}} = \frac{BE}{EC}$ | 多个分割线时分别适用 |
| 与中线结合 | 若AD为中线，则$BD = DC$，此时$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = 1$ | 中线将三角形面积等分 |
四、实际例题解析
题目：在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD:DC = 2:3，若S_{△ABD} = 10 cm²，求S_{△ABC}。
解法：
根据燕尾定理：
$$
\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}
$$
设S_{△ACD} = x，则：
$$
\frac{10}{x} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 15
$$
所以，S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ACD} = 10 + 15 = 25 cm²
五、总结
燕尾定理是几何中一个实用且直观的定理，能够帮助我们快速判断三角形内部线段的比例关系，尤其是在面积与底边之间建立联系时非常有效。掌握这一公式不仅有助于提高解题效率，还能增强对几何图形的理解能力。
| 关键点 | 内容 |
| 定理名称 | 燕尾定理 |
| 核心公式 | $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}} = \frac{BD}{DC}$ |
| 应用范围 | 三角形面积、线段比例、几何证明 |
| 实际价值 | 提高解题效率，增强几何思维能力 |
