【定积分公式是什么】在数学中，定积分是微积分的重要组成部分，用于计算函数在某一区间上的累积效果。它不仅可以用来求面积、体积等几何问题，还可以应用于物理、工程等多个领域。本文将对定积分的基本概念和常用公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、定积分的定义
定积分是函数在某个区间上的积分值，表示为：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$
其中：
- $ a $ 是积分下限，
- $ b $ 是积分上限，
- $ f(x) $ 是被积函数，
- $ dx $ 表示积分变量。
定积分的结果是一个数值，表示函数在区间 $[a, b]$ 上的“面积”或某种累积量。
二、定积分的基本性质
1. 线性性
$$
\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx
$$
2. 积分区间的可加性
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx
$$
3. 常数因子可以提出
$$
\int_{a}^{b} k f(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$
4. 积分上下限互换符号变号
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx
$$
5. 若 $ f(x) \geq 0 $，则积分非负
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq 0
$$
三、常见的定积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 定积分公式 $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx $ |
| $ x^n $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $（$ n \neq -1 $） |
| $ e^x $ | $ e^b - e^a $ |
| $ \sin x $ | $ -\cos b + \cos a $ |
| $ \cos x $ | $ \sin b - \sin a $ |
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln b - \ln a $（$ a,b > 0 $） |
| $ \frac{1}{x^2} $ | $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $ |
四、牛顿-莱布尼兹公式（微积分基本定理）
这是计算定积分的核心公式：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数（即 $ F'(x) = f(x) $）。
五、总结
定积分是数学中非常重要的工具，广泛应用于多个学科领域。通过掌握其定义、性质以及常见函数的积分公式，可以更高效地解决实际问题。在实际应用中，通常需要先找到被积函数的原函数，再代入上下限进行计算。
如需进一步了解不定积分与定积分的关系，或具体函数的积分方法，欢迎继续阅读相关文章。
