【xsinx是奇函数还是偶函数】在数学中，函数的奇偶性是判断函数图像对称性的重要性质。常见的奇函数和偶函数有：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而多项式函数则可能根据其结构表现出不同的奇偶性。那么，对于函数 $ f(x) = x \sin x $，它到底是奇函数还是偶函数呢？我们通过分析来得出结论。
一、奇函数与偶函数的定义
- 偶函数：若对于所有 $ x $ 都满足 $ f(-x) = f(x) $，则 $ f(x) $ 是偶函数。
- 奇函数：若对于所有 $ x $ 都满足 $ f(-x) = -f(x) $，则 $ f(x) $ 是奇函数。
二、分析函数 $ f(x) = x \sin x $
我们计算 $ f(-x) $：
$$
f(-x) = (-x) \cdot \sin(-x)
$$
利用三角函数的性质：
$$
\sin(-x) = -\sin x
$$
代入得：
$$
f(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x = f(x)
$$
因此，$ f(-x) = f(x) $，说明该函数是偶函数。
三、总结对比
| 函数表达式 | 是否为偶函数 | 是否为奇函数 | 说明 |
| $ f(x) = x \sin x $ | ✅ 是 | ❌ 否 | 因为 $ f(-x) = f(x) $ |
四、结论
经过详细推导可以确认，函数 $ f(x) = x \sin x $ 是一个偶函数。这是因为它的自变量取反后，整体表达式保持不变，符合偶函数的定义。理解这一点有助于我们在后续学习中更好地分析类似复合函数的性质。
