【什么是欧几里德范数 Euclidean norm】欧几里德范数是数学中用于衡量向量长度的一种方法，广泛应用于线性代数、机器学习、物理和工程等领域。它以古希腊数学家欧几里得的名字命名，基于几何中的直角坐标系原理，计算向量在空间中的“距离”。
一、总结
欧几里德范数是一种度量向量大小的工具，通过将向量各分量的平方相加后开根号来得到其长度。它是最常见、最直观的范数形式，适用于二维、三维甚至高维空间中的向量计算。
二、表格对比：欧几里德范数与其他常见范数
| 范数类型 | 定义公式 | 特点说明 | ||||||||
| 欧几里德范数 | $ \ | \mathbf{v} \ | _2 = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} $ | 最常用的范数，反映向量在空间中的“直线距离” | ||||||
| L1 范数 | $ \ | \mathbf{v} \ | _1 = | v_1 | + | v_2 | + \cdots + | v_n | $ | 计算简单，常用于稀疏性约束或特征选择 |
| L∞ 范数 | $ \ | \mathbf{v} \ | _\infty = \max( | v_1 | , | v_2 | , \ldots, | v_n | ) $ | 取向量中绝对值最大的元素 |
| 矩阵范数 | 与向量范数类似，但针对矩阵进行定义 | 有多种类型，如谱范数、Frobenius 范数等 |
三、应用场景
- 机器学习：用于计算样本之间的距离，如K近邻算法中的相似度度量。
- 信号处理：衡量信号的能量大小。
- 物理学：表示位移、速度、力等矢量的大小。
- 优化问题：作为目标函数的一部分，用于最小化误差或损失。
四、注意事项
- 欧几里德范数对异常值敏感，因此在数据存在噪声时可能需要使用其他范数。
- 在高维空间中，欧几里德距离可能会受到“维度灾难”的影响，导致计算效率下降。
五、结语
欧几里德范数是理解向量空间结构的基础工具之一，它不仅在数学理论中具有重要意义，也在实际应用中发挥着不可替代的作用。了解其原理和特点，有助于更好地掌握相关领域的知识。
