【高等数学第六章微分方程公式】微分方程是高等数学中的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济等领域。第六章主要介绍常微分方程的基本概念、分类及其解法。以下是对本章核心内容的总结与公式整理。

一、基本概念

1. 微分方程：含有未知函数及其导数的方程。

2. 阶数：方程中出现的最高阶导数的阶数。

3. 通解：包含任意常数的解，形式上能表示所有可能的解。

4. 特解：由初始条件确定的特定解。

5. 初值问题：给出初始条件的微分方程问题。

二、常见类型与解法

三、典型例题与公式归纳

1. 可分离变量方程

例如：$ \frac{dy}{dx} = x y $

解法：$ \frac{dy}{y} = x dx $，积分得 $ \lny = \frac{x^2}{2} + C $，即 $ y = Ce^{\frac{x^2}{2}} $

2. 一阶线性方程

例如：$ y' + 2y = e^x $

积分因子：$ e^{2x} $，两边乘以后积分得 $ y = \frac{e^x}{3} + Ce^{-2x} $

3. 齐次方程

例如：$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} $

令 $ y = vx $，得 $ v + x \frac{dv}{dx} = v $，即 $ \frac{dv}{v} = \frac{dx}{x} $，解为 $ y = Cx $

4. 全微分方程

例如：$ (2x + y)dx + (x + 2y)dy = 0 $

检查 $ \frac{\partial M}{\partial y} = 1 $，$ \frac{\partial N}{\partial x} = 1 $，成立，故存在势函数 $ u(x, y) = x^2 + xy + y^2 = C $

5. 二阶常系数方程

例如：$ y'' - 3y' + 2y = 0 $

特征方程：$ r^2 - 3r + 2 = 0 $，解为 $ r_1 = 1 $, $ r_2 = 2 $，通解为 $ y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} $

四、小结

第六章微分方程的内容系统而实用，涵盖了从简单的一阶方程到较复杂的二阶线性方程的求解方法。掌握这些基本类型和解法，不仅有助于理解微分方程的本质，也为后续学习偏微分方程和应用打下坚实基础。建议在学习过程中多做练习题，加深对公式的理解和运用能力。